Правила розрахунку. Операція, яка зв’язує u + (−v) з (u, v), називається відніманням. Вектор u + (−v) позначається u − v. Задоволені такі властивості: λ(u − v) = λu − λv та (λ − µ)u = λu − µu.
Векторний простір поліномів R[X]. P(X) = anXn + ··· + a2X2 + a1X + a0. Додавання — це додавання двох многочленів P(X) +Q(X), множення на скаляр λ ∈ R — це λ · P(X). Нейтральним елементом є нульовий поліном. Протилежністю P(X) є −P(X).
Щоб обчислити координати вектора з двох точок, нам потрібно відняти координати початкової точки від координат кінцевої точки. Іншими словами, якщо ми маємо точки A (x A, y A) і B (x B, y B), то маємо вектор A B → = (x B − x A y B − y A).
L'векторний простір будучи розмірністю (не нульовою), існує частина, що має елементи, яка визначає базу , тобто як вільна, так і породжуюча. будучи породженою частиною, що має елементи, будь-яка вільна частина має не більше елементів, інакше вона зв’язана (наслідок леми).
Нульовий простір має єдину основу, яка не містить вектора : це сімейство, індексоване порожньою множиною, іншими словами сімейство ( ). Тому розмірність {0} дорівнює 0.
Тут векторний простір — це набір функцій, які беруть натуральне число n і повертають дійсне число. Додавання — це просто додавання функцій: (f1+f2)(n) = f1(n)+f2(n) . Скалярне множення так само просте: c · f(n) = cf(n).